掲示板やSNSに虚偽の事実を書き込まれてしまい大変困っていますが、どうしたら良いでしょうか？

まずは、その書き込みの削除請求を検討します。誹謗中傷等の内容が投稿されたサイトに、お問い合わせ用のフォームが設置されていたり、メールアドレスが記載されていれば、そのフォーム・メールから削除依頼をします。もし、より強く削除の意思を明らかにするには、送信防止措置依頼書に記入してサイト管理者に送付します。
ただ、これらの方法はあくまでも任意での削除をお願いするものであり、法的に削除を強制できるものではありませんので、サイト管理者が削除に応じない場合には、「削除仮処分」という裁判上の手続きを行います。
削除請求はご自身で行うこともできますが、削除請求された、あるいは削除されたことを投稿者が知ると反発して、誹謗中傷する内容をさらに投稿して、かえって状況が悪化することも考えられますので、そのようなリスクをできる限り回避して、誹謗中傷による権利侵害を抑制できる効果的な対策を打ち出すためにも、まずは弁護士に相談することをお勧めいたします。