掲示板やSNSに虚偽の事実を書き込んだ投稿者を特定したいのですが、どのようにすれば良いでしょうか？

投稿者を特定するには、発信者情報開示請求を行います。
掲示板やSNSなどの匿名型のサイトでは、サイト管理者は投稿者の氏名・住所を把握していませんので、まず、サイト管理者に対してIPアドレス開示請求を行います。これにより、その投稿が、いつ・どのプロバイダからされたのかわかります。
次に、そのプロバイダに対して、住所氏名等開示請求を行います。
これらの請求行為は、専門的な知識が必要であり、時間もかかるため、弁護士にご相談されることをお勧めします。